ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด คุณรู้ไหมว่าทำไมมันจึงเป็นเส้นตรงมากกว่าส่วนโค้ง? การกำหนดระยะห่างระหว่างสองเส้นตัดกัน

เมื่อร่างโครงร่างสองจุดบนกระดานดำด้วยชอล์ค ครูเสนองานให้นักเรียนรุ่นเยาว์: วาดเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดทั้งสอง

หลังจากคิด นักเรียนก็ลากเส้นคดเคี้ยวไปมาระหว่างพวกเขาอย่างขยันขันแข็ง

- นั่นเป็นวิธีที่สั้นที่สุด! ครูรู้สึกประหลาดใจ - ใครสอนคุณว่า?

- พ่อของฉัน. เขาเป็นคนขับแท็กซี่

แน่นอนว่าภาพวาดของเด็กนักเรียนไร้เดียงสานั้นเป็นเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ แต่คุณจะไม่ยิ้มถ้าคุณบอกว่าส่วนโค้งในรูป 1 คือทางที่สั้นที่สุดจากแหลมกู๊ดโฮปไปจนถึงปลายด้านใต้ของออสเตรเลีย!

ที่โดดเด่นยิ่งกว่าคือข้อความต่อไปนี้: ปรากฎในรูปที่. การเดินทางไปกลับ 2 รอบจากญี่ปุ่นไปยังคลองปานามานั้นสั้นกว่าเส้นตรงที่ลากระหว่างพวกเขาในแผนที่เดียวกัน!

ข้าว. 1. บนแผนภูมิทะเล เส้นทางที่สั้นที่สุดจากแหลมกู๊ดโฮปไปจนถึงปลายด้านใต้ของออสเตรเลียไม่ได้ระบุด้วยเส้นตรง ("loxodrome") แต่เป็นเส้นโค้ง ("orthodromy")

ทั้งหมดนี้ดูเหมือนเป็นเรื่องตลก แต่ในขณะเดียวกัน ก่อนที่คุณจะเป็นความจริงที่เถียงไม่ได้ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักทำแผนที่

ข้าว. 2. ดูเหมือนไม่น่าเชื่อว่าเส้นทางโค้งที่เชื่อมโยโกฮาม่าบนแผนภูมิทะเลกับคลองปานามานั้นสั้นกว่าเส้นตรงที่ลากระหว่างจุดเดียวกัน

เพื่อชี้แจงปัญหา จะต้องพูดสองสามคำเกี่ยวกับแผนภูมิโดยทั่วไปและเกี่ยวกับแผนภูมิทางทะเลโดยเฉพาะ การแสดงภาพส่วนต่างๆ ของพื้นผิวโลกบนกระดาษไม่ใช่เรื่องง่าย แม้โดยหลักการแล้ว เนื่องจากโลกเป็นทรงกลม และเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าไม่มีส่วนใดของพื้นผิวทรงกลมที่สามารถนำมาใช้บนระนาบได้โดยไม่พับและหัก โดยไม่ได้ตั้งใจ เราต้องทนกับการบิดเบือนที่หลีกเลี่ยงไม่ได้บนแผนที่ มีการคิดค้นวิธีการวาดแผนที่หลายวิธี แต่แผนที่ทั้งหมดไม่ได้ปราศจากข้อบกพร่อง: บางแผนที่มีการบิดเบือนในลักษณะเดียว บางประเภทแตกต่างกัน แต่ไม่มีแผนที่ที่ไม่มีการบิดเบือนเลย

กะลาสีเรือใช้แผนที่ที่วาดตามวิธีการของนักทำแผนที่และนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์สมัยศตวรรษที่ 16 เมอร์เคเตอร์ วิธีนี้เรียกว่าการฉายภาพ Mercator ง่ายต่อการจดจำแผนภูมิทะเลด้วยตารางสี่เหลี่ยม: เส้นเมอริเดียนจะแสดงเป็นชุดของเส้นตรงคู่ขนาน วงกลมละติจูด - เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นแรกด้วย (ดูรูปที่ 5)

ลองนึกภาพว่าตอนนี้คุณต้องการหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากท่าเรือมหาสมุทรหนึ่งไปยังอีกท่าเรือหนึ่งบนเส้นทางขนานเดียวกัน บนมหาสมุทร มีทุกเส้นทาง และสามารถเดินทางไปบนเส้นทางที่สั้นที่สุดได้เสมอหากคุณรู้ว่ามันอยู่อย่างไร ในกรณีของเรา เป็นเรื่องปกติที่จะคิดว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดไปตามแนวขนานที่พอร์ตทั้งสองตั้งอยู่: ท้ายที่สุด บนแผนที่ มันคือเส้นตรง และสิ่งที่สั้นกว่าเส้นทางตรง! แต่เราคิดผิด เส้นทางขนานนั้นไม่สั้นที่สุดเลย

อันที่จริง: บนพื้นผิวของทรงกลม ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดคือส่วนโค้งของวงกลมขนาดใหญ่ที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสอง แต่วงกลมคู่ขนาน เล็ก วงกลม. ส่วนโค้งของวงกลมขนาดใหญ่มีความโค้งน้อยกว่าส่วนโค้งของวงกลมเล็กๆ ใดๆ ที่ลากผ่านจุดสองจุดเดียวกัน: รัศมีที่ใหญ่กว่าจะสอดคล้องกับส่วนโค้งที่เล็กกว่า ดึงด้ายบนลูกโลกระหว่างจุดสองจุดของเรา (cf. รูปที่ 3); คุณจะแน่ใจว่ามันไม่ได้อยู่ตามแนวขนานเลย เส้นที่ยืดออกเป็นตัวบ่งชี้ที่เถียงไม่ได้ของเส้นทางที่สั้นที่สุด และหากเส้นนั้นไม่ตรงกับเส้นขนานในโลก แผนภูมิทะเล เส้นทางที่สั้นที่สุดจะไม่ถูกระบุด้วยเส้นตรง: โปรดจำไว้ว่าวงกลมของแนวขนานนั้นแสดงอยู่บนนั้น แผนที่โดยเส้นตรง เส้นใดที่ไม่ตรงกับเส้นตรง ก็มี เส้นโค้ง .

ข้าว. 3. วิธีง่ายๆ ในการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด: คุณต้องดึงเธรดบนโลกระหว่างจุดเหล่านี้

หลังจากที่ได้พูดไปแล้ว เป็นที่ชัดเจนว่าเหตุใดเส้นทางที่สั้นที่สุดในแผนภูมิทะเลจึงไม่ปรากฏเป็นเส้นตรง แต่เป็นเส้นโค้ง

พวกเขาบอกว่าเมื่อเลือกทิศทางสำหรับเส้นทางรถไฟ Nikolaev (ปัจจุบันคือ Oktyabrskaya) มีข้อโต้แย้งไม่รู้จบเกี่ยวกับวิธีที่จะวางมัน ข้อพิพาทยุติลงโดยการแทรกแซงของซาร์นิโคลัสที่ 1 ซึ่งแก้ปัญหาได้ "ตรงไปตรงมา" อย่างแท้จริง: เขาเชื่อมโยงเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กกับมอสโกตามสาย หากสิ่งนี้เกิดขึ้นบนแผนที่ Mercator มันคงเป็นเรื่องที่น่าอาย: แทนที่จะเป็นเส้นตรง ถนนจะกลายเป็นทางโค้ง

ผู้ที่ไม่หลีกเลี่ยงการคำนวณสามารถแน่ใจได้โดยการคำนวณง่ายๆ ว่าเส้นทางที่ดูคดเคี้ยวสำหรับเราบนแผนที่นั้นสั้นกว่าเส้นทางที่เราพร้อมพิจารณาโดยตรง ให้ท่าเรือทั้งสองของเราอยู่บนเส้นขนานที่ 60 และแยกจากกันเป็นระยะทาง 60° (แน่นอนว่าท่าเรือสองแห่งนั้นมีอยู่จริงหรือไม่นั้นไม่มีสาระสำคัญสำหรับการคำนวณ)

ข้าว. 4. การคำนวณระยะทางระหว่างจุด A และ B บนลูกบอลตามแนวโค้งของเส้นขนานและตามแนวโค้งของวงกลมใหญ่

ในรูป 4 คะแนน โอ -ศูนย์กลางของโลก, เอบี -ส่วนโค้งของวงกลมละติจูดที่ตั้งอยู่ A และ B; ใน 60° ของเธอ จุดศูนย์กลางของวงกลมละติจูดอยู่ที่จุดหนึ่ง จากลองนึกภาพว่าจากศูนย์ อู๋ของโลกถูกลากผ่านท่าเรือเดียวกันเป็นโค้งวงกลมใหญ่: รัศมีของมัน OB = OA = R;มันจะผ่านไปใกล้กับส่วนโค้งที่วาด เอบีแต่มันไม่ตรงกัน

มาคำนวณความยาวของส่วนโค้งแต่ละส่วนกัน ตั้งแต่จุด แต่และ ที่อยู่ที่ละติจูด 60° จากนั้นรัศมี OAและ OVแต่งหน้าด้วย OS(แกนโลก) ทำมุม 30° ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ASOขา เอซี (=r),นอนอยู่ตรงข้ามมุม 30° เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก เจเอสซี;

วิธี, r=R/2ความยาวส่วนโค้ง ABคือความยาวหนึ่งในหกของวงกลมละติจูด และเนื่องจากวงกลมนี้มีความยาวครึ่งหนึ่งของวงกลมขนาดใหญ่ (เท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมี) เท่ากับความยาวของส่วนโค้งของวงกลมเล็ก

ในการกำหนดความยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ที่ลากระหว่างจุดเดียวกัน (นั่นคือ เส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดทั้งสอง) เราจำเป็นต้องทราบขนาดของมุม อ่าว.คอร์ด เช่นการลบส่วนโค้งเป็น 60 ° (วงกลมเล็ก) คือด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมขนาดเล็กเดียวกัน นั่นเป็นเหตุผล AB \u003d r \u003d R / 2

วาดเส้นตรง อ้อศูนย์เชื่อมต่อ อู๋ลูกโลกตรงกลาง ดีคอร์ด เอบีได้สามเหลี่ยมมุมฉาก โอดีเอมุมไหน ด-ตรง:

DA= 1/2 AB และ OA=R

sinAOD=AD: AO=R/4:R=0.25

จากที่นี่เราพบ (ตามตาราง):

=14°28",5

และด้วยเหตุนี้

= 28°57"

ตอนนี้การหาความยาวที่ต้องการของเส้นทางที่สั้นที่สุดในหน่วยกิโลเมตรไม่ใช่เรื่องยาก การคำนวณสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากเราจำได้ว่าความยาวหนึ่งนาทีของวงกลมใหญ่ของโลกคือ

เราเรียนรู้ว่าเส้นทางตามวงกลมละติจูดที่แสดงบนแผนภูมิทะเลเป็นเส้นตรงคือ 3333 กม. และเส้นทางตามวงกลมใหญ่ - ตามแนวโค้งบนแผนที่ - 3213 กม. หรือสั้นกว่า 120 กม.

ด้วยด้ายและลูกโลก คุณสามารถตรวจสอบความถูกต้องของภาพวาดของเราได้อย่างง่ายดาย และตรวจสอบให้แน่ใจว่าส่วนโค้งของวงกลมใหญ่นั้นอยู่จริงตามที่แสดงในภาพวาด แสดงในรูป 1 ราวกับว่าเส้นทางทะเล "ตรง" จากแอฟริกาไปยังออสเตรเลียคือ 6020 ไมล์ และ "โค้ง" - ​​5450 ไมล์ นั่นคือสั้นลง 570 ไมล์หรือ 1050 กม. เส้นทางบิน "ตรง" บนแผนภูมิทะเลจากลอนดอนไปยังเซี่ยงไฮ้ตัดผ่านทะเลแคสเปียน ในขณะที่เส้นทางที่สั้นที่สุดอยู่ทางเหนือของเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก ชัดเจนว่าปัญหาเหล่านี้มีบทบาทอย่างไรในการประหยัดเวลาและเชื้อเพลิง

หากในยุคของการเดินเรือเวลาการขนส่งไม่ได้มีค่าเสมอ - ดังนั้น "เวลา" ก็ยังไม่ถือว่าเป็น "เงิน" ดังนั้นด้วยการมาถึงของเรือไอน้ำ เราต้องจ่ายค่าถ่านหินส่วนเกินทุกตันที่บริโภค นั่นคือเหตุผลที่ในสมัยของเรา เรือแล่นไปตามเส้นทางที่สั้นที่สุด มักใช้แผนที่ที่ไม่ได้สร้างขึ้นใน Mercator แต่ในการฉายภาพที่เรียกว่า "ศูนย์กลาง": บนแผนที่เหล่านี้ ส่วนโค้งของวงกลมใหญ่จะแสดงเป็นเส้นตรง

แล้วทำไมอดีตนักเดินเรือจึงใช้แผนที่หลอกลวงและเลือกเส้นทางที่ไม่เอื้ออำนวย? เป็นความผิดพลาดที่จะคิดว่าในสมัยก่อนพวกเขาไม่รู้เกี่ยวกับคุณลักษณะที่ระบุไว้ในขณะนี้ของแผนภูมิทะเล แน่นอนว่าเรื่องนี้ไม่ได้อธิบายไว้ แต่ด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าแผนภูมิที่วาดตามวิธีของ Mercator ร่วมกับความไม่สะดวก มีประโยชน์อันมีค่ามากสำหรับลูกเรือ ประการแรก แผนที่ดังกล่าวแสดงให้เห็นส่วนเล็กๆ ที่แยกจากกันของพื้นผิวโลกโดยไม่ผิดเพี้ยน โดยรักษามุมของรูปร่างไว้ สิ่งนี้ไม่ขัดแย้งกับความจริงที่ว่าด้วยระยะห่างจากเส้นศูนย์สูตร รูปทรงทั้งหมดจะยืดออกอย่างเห็นได้ชัด ที่ละติจูดสูง การยืดออกมีความสำคัญมากจนแผนภูมิทะเลเป็นแรงบันดาลใจให้บุคคลที่ไม่คุ้นเคยกับคุณสมบัติของมันด้วยความคิดที่ผิดๆ เกี่ยวกับขนาดที่แท้จริงของทวีป: กรีนแลนด์ดูเหมือนจะมีขนาดเท่ากับแอฟริกา อลาสก้า ใหญ่กว่าออสเตรเลีย แม้ว่ากรีนแลนด์จะเล็กกว่าแอฟริกาถึง 15 เท่า และอลาสก้าร่วมกับกรีนแลนด์ที่มีขนาดครึ่งหนึ่งของออสเตรเลีย แต่กะลาสีที่คุ้นเคยกับคุณลักษณะเหล่านี้ของแผนภูมิเป็นอย่างดีไม่สามารถหลอกพวกเขาได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่ออยู่ในพื้นที่เล็กๆ แผนผังทะเลให้ภาพเหมือนธรรมชาติ (รูปที่ 5)

ในทางกลับกัน แผนภูมิทะเลช่วยอำนวยความสะดวกในการแก้ปัญหาของการฝึกเดินเรืออย่างมาก นี่เป็นแผนภูมิประเภทเดียวที่แสดงเส้นทางของเรือในเส้นทางคงที่เป็นเส้นตรง การปฏิบัติตาม "หลักสูตรคงที่" หมายถึงการรักษาทิศทางเดียวอย่างสม่ำเสมอ "รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน" กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการข้ามเส้นเมอริเดียนทั้งหมดในมุมที่เท่ากัน แต่เส้นทางนี้ ("ล็อกโซโดรม") สามารถแสดงเป็นเส้นตรงได้เฉพาะในแผนที่ที่เส้นเมอริเดียนทั้งหมดเป็นเส้นตรงขนานกัน และเนื่องจากในโลกนี้ วงกลมของละติจูดตัดกับเส้นเมอริเดียนในมุมฉาก ดังนั้นในแผนที่ดังกล่าว วงกลมของละติจูดควรเป็นเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นของเส้นเมอริเดียน กล่าวโดยสรุปคือ เรามาถึงเส้นตารางพิกัดอย่างแม่นยำซึ่งเป็นคุณลักษณะเฉพาะของแผนภูมิทะเล

ข้าว. 5. แผนที่ทะเลหรือ Mercator ของโลก ในแผนที่ดังกล่าว ขนาดของรูปทรงที่ห่างไกลจากเส้นศูนย์สูตรนั้นเกินจริงไปมาก ตัวอย่างใดที่ใหญ่กว่า: กรีนแลนด์หรือออสเตรเลีย (ตอบในข้อความ)

ความชอบของกะลาสีสำหรับแผนที่ Mercator เป็นที่เข้าใจได้แล้ว เมื่อต้องการกำหนดเส้นทางที่จะปฏิบัติตามเมื่อไปที่ท่าเรือที่กำหนด ผู้นำทางจะใช้ไม้บรรทัดกับจุดสิ้นสุดของเส้นทางและวัดมุมที่ทำกับเส้นเมอริเดียน โดยอยู่ในทะเลเปิดตลอดเวลาในทิศทางนี้ เนวิเกเตอร์จะนำเรือไปยังเป้าหมายอย่างแม่นยำ คุณเห็นว่า "loxodrome" แม้ว่าจะไม่ใช่ระยะสั้นและไม่ประหยัดที่สุด แต่ในบางแง่มุมเป็นวิธีที่สะดวกมากสำหรับกะลาสีเรือ เช่น จากแหลมกู๊ดโฮปไปจนถึงปลายด้านใต้ของออสเตรเลีย (ดูรูปที่ 1) จะต้องรักษาเส้นทางเดิม S 87 °, 50 "ไว้เสมอ ขณะเดียวกัน เพื่อที่จะนำเรือไปยังที่เดียวกัน จุดสุดท้ายในทางที่สั้นที่สุด (ตาม " ") จำเป็นต้องเปลี่ยนเส้นทางของเรืออย่างต่อเนื่องดังที่เห็นได้จากรูป: เริ่มจากหลักสูตร S 42 °, 50 "และสิ้นสุดด้วยหลักสูตร N 53 ° 50" (ในกรณีนี้ เส้นทางที่สั้นที่สุดไม่สามารถทำได้ด้วยซ้ำ - มันวางอยู่บนกำแพงน้ำแข็งของทวีปแอนตาร์กติกา )

ทั้งสองเส้นทาง - ตาม "ล็อกโซโดรม" และตาม "ออร์โธโดรม" - เกิดขึ้นพร้อมกันเฉพาะเมื่อเส้นทางตามวงกลมใหญ่ปรากฏบนแผนภูมิทะเลเป็นเส้นตรง: เมื่อเคลื่อนที่ไปตามเส้นศูนย์สูตรหรือตามเส้นเมอริเดียน ในกรณีอื่นๆ เส้นทางเหล่านี้ต่างกัน

เส้นทางตามเส้นประในภาพสั้นกว่าเส้นทางตามเส้นทึบ และตอนนี้มีรายละเอียดเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับตัวอย่างเส้นทางเดินเรือ:

หากคุณแล่นเรือในเส้นทางคงที่วิถีของเรือบนพื้นผิวโลกจะเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าคณิตศาสตร์ ลอการิทึมเกลียว.

ในการนำทาง เส้นโค้งคู่ที่ซับซ้อนนี้เรียกว่า loxodromia, ซึ่งในภาษากรีกหมายถึง "การวิ่งเฉียง"

อย่างไรก็ตาม ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนโลกนั้นวัดตามส่วนโค้งของวงกลมใหญ่

ส่วนโค้งของวงกลมใหญ่นั้นได้มาจากการลากเส้นจากจุดตัดของพื้นผิวโลกโดยมีระนาบผ่านศูนย์กลางของโลกซึ่งถ่ายเป็นลูกบอล

ในการนำทาง วงเวียนใหญ่เรียกว่า วงกลมใหญ่, ซึ่งหมายถึง "วิ่งตรง" ลักษณะที่สองของวงกลมใหญ่คือมันตัดผ่านเส้นเมอริเดียนในมุมต่างๆ (รูปที่ 29)

ความแตกต่างของระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนพื้นผิวโลกตามแนวล็อกโซโดรมและออร์โธโดรมมีความสำคัญในทางปฏิบัติสำหรับการข้ามมหาสมุทรขนาดใหญ่เท่านั้น

ภายใต้สภาวะปกติ ความแตกต่างนี้จะถูกละเลยและการนำทางเป็นเส้นทางคงที่ กล่าวคือ โดย ล็อกโซโดรม

เพื่อให้ได้สมการ เราใช้ล็อกโซโดรมี (รูปที่ 30 เอ) สองจุด แต่และ ที่,ระยะห่างระหว่างพวกเขานั้นเล็กมาก การวาดเส้นเมอริเดียนและเส้นขนานผ่านเส้นทั้งสอง เราจะได้สามเหลี่ยมทรงกลมมุมฉากเบื้องต้น เอบีซีในรูปสามเหลี่ยมนี้ มุมที่เกิดจากจุดตัดของเส้นเมอริเดียนกับเส้นขนานเป็นมุมขวา และมุม พีนABเท่ากับเส้นทางเดินเรือ ก.เกตุ ACแทนส่วนโค้งเมริเดียนและสามารถแสดงได้

ที่ไหน R - รัศมีของโลกนำมาเป็นทรงกลม

Δφ - การเพิ่มละติจูดเบื้องต้น (ความแตกต่างของละติจูด)

ขา SWแทนส่วนโค้งขนานกัน

ที่ไหน r - รัศมีของเส้นขนาน

Δλ - ความแตกต่างเบื้องต้นของลองจิจูด

จากสามเหลี่ยม OO 1 C จะพบว่า

จากนั้นในรูปแบบสุดท้ายขา SWสามารถแสดงออกได้ดังนี้

สมมติสามเหลี่ยมทรงกลมเบื้องต้น ABCสำหรับแบนเขียน

หลังลด R และแทนที่การเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของพิกัดเบื้องต้นด้วยพิกัดที่น้อยมากเรามี

เรารวมนิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไว้ในช่วงตั้งแต่ φ 1, λ 1 ถึง φ 2, λ 2 พิจารณาค่าของ tgK เป็นค่าคงที่:

ทางด้านขวา เรามีอินทิกรัลแบบตาราง หลังจากแทนค่าแล้ว เราจะได้สมการล็อกโซโดรมบนลูกบอล

การวิเคราะห์สมการนี้ทำให้เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

ที่เส้นทาง 0 และ 180 ° ล็อกโซโดรมจะกลายเป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ - เส้นเมอริเดียน

ที่สนาม 90 และ 270 ° loxodrome เกิดขึ้นพร้อมกับเส้นขนาน

ล็อกโซโดรมตัดผ่านขนานกันเพียงครั้งเดียว และแต่ละเส้นเมอริเดียนมีจำนวนครั้งนับไม่ถ้วน เหล่านั้น. เกลียวเข้าหาเสาก็ไปไม่ถึง

การนำทางในเส้นทางคงที่ กล่าวคือ ไปตามล็อกโซโดรม แม้ว่าจะไม่ใช่ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนโลก แต่ก็แสดงถึงความสะดวกอย่างมากสำหรับผู้นำทาง

ข้อกำหนดสำหรับแผนภูมิการนำทางทางทะเลสามารถกำหนดได้โดยอาศัยข้อดีของการนำทางไปตามล็อกโซโดรมและผลการวิเคราะห์สมการดังต่อไปนี้

1. Loxodrome ที่ข้ามเส้นเมอริเดียนในมุมคงที่ควรแสดงเป็นเส้นตรง

2. การฉายภาพแผนที่ที่ใช้ในการสร้างแผนที่ต้องสอดคล้องกัน เพื่อให้เส้นทาง แบริ่ง และมุมบนนั้นสอดคล้องกับค่าบนพื้น

3. เส้นเมอริเดียนและเส้นขนาน เช่น เส้นสนาม 0, 90, 180° และ 270 ° ต้องเป็นเส้นตรงตั้งฉากซึ่งกันและกัน

ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนพื้นผิวโลกซึ่งถ่ายเป็นทรงกลมคือส่วนโค้งที่เล็กกว่าของวงกลมใหญ่ที่ผ่านจุดเหล่านี้ ยกเว้นในกรณีที่เรือเดินตามเส้นเมอริเดียนหรือเส้นศูนย์สูตร วงกลมใหญ่ตัดผ่านเส้นเมอริเดียนในมุมต่างๆ ดังนั้นเรือที่วิ่งตามโค้งดังกล่าวจะต้องเปลี่ยนเส้นทางตลอดเวลา ในทางปฏิบัติ จะสะดวกกว่าที่จะปฏิบัติตามเส้นทางที่สร้างมุมคงที่กับเส้นเมอริเดียน และแสดงไว้บนแผนที่ในการฉายภาพ Mercator ด้วยเส้นตรง - ล็อกโซโดรม อย่างไรก็ตาม ในระยะทางไกล ความแตกต่างในความยาวของออร์โธโดรมและล็อกโซโดรมถึงค่าที่มีนัยสำคัญ ดังนั้นในกรณีเช่นนี้ออร์โธโดรมคำนวณและทำเครื่องหมายจุดกึ่งกลางระหว่างที่ว่ายน้ำไปตามล็อกโซโดรม

การฉายภาพแผนที่ที่ตรงตามข้อกำหนดข้างต้นได้รับการเสนอโดย Gerard Cramer นักเขียนแผนที่ชาวดัตช์ (Mercator) ในปี ค.ศ. 1569 เพื่อเป็นเกียรติแก่ผู้สร้าง การฉายภาพจึงถูกตั้งชื่อ เมอร์เคเตอร์

และผู้ที่ต้องการเรียนรู้ข้อมูลที่น่าสนใจมากยิ่งขึ้น ค้นหาเพิ่มเติม บทความต้นฉบับอยู่ในเว็บไซต์ InfoGlaz.rfลิงก์ไปยังบทความที่ทำสำเนานี้ -

DISTANCE ระยะทาง cf. 1. ช่องว่างคั่นสองจุด ช่องว่างระหว่างบางสิ่งบางอย่าง ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดในแนวเส้นตรง อาศัยอยู่จากเราในระยะทางสองกิโลเมตร “ผู้บังคับบัญชาให้เข้าไปใกล้ที่สุด ... พจนานุกรมอธิบายของ Ushakov

ระยะทาง- คำนาม s. ใช้ สัณฐานวิทยาบ่อยครั้ง: (ไม่) อะไรนะ? ห่างเพื่ออะไร? ระยะทาง (ดู) อะไร? ระยะทางกว่า? ระยะทาง อะไร? เกี่ยวกับระยะทาง พี อะไร? ระยะทาง (ไม่มี) อะไรนะ? ระยะทาง ทำไม? ระยะทาง (ดู) อะไร? ระยะทางกว่า? ระยะทาง... พจนานุกรมของ Dmitriev

ระยะทาง- ฉัน; เปรียบเทียบ ช่องว่างที่คั่นสองจุด วัตถุสองชิ้น ฯลฯ ช่องว่างระหว่างบุคคล มากกว่า l แม่น้ำที่สั้นที่สุด ระหว่างสองจุด ร. จากบ้านไปโรงเรียน. ไปพักผ่อนที่แม่น้ำใกล้เคียง ในระยะหนึ่งเมตรกางแขนออก รู้อะไรบางอย่าง รู้สึกบางอย่าง บน… … พจนานุกรมสารานุกรม

ระยะทาง- ฉัน; เปรียบเทียบ ดูสิ่งนี้ด้วย ระยะทาง ก) ช่องว่างที่แยกจุดสองจุด วัตถุสองชิ้น ฯลฯ ช่องว่างระหว่างบุคคล มากกว่า ล. ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด ระยะทางจากบ้านไปโรงเรียน ถอยให้ห่างๆ / นี่ ... พจนานุกรมสำนวนมากมาย

เรขาคณิต- สาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงต่างๆ (จุด เส้น มุม วัตถุสองมิติและสามมิติ) ขนาดและตำแหน่งสัมพัทธ์ เพื่อความสะดวกในการสอน เรขาคณิตแบ่งออกเป็นแบบแผนและเรขาคณิตแบบทึบ ที่… … สารานุกรมถ่านหิน

การนำทาง*

การนำทาง- กรมการเดินเรือ (ดู) สรุปการนำเสนอวิธีการกำหนดตำแหน่งของเรือในทะเลโดยใช้เข็มทิศและท่อนซุง (ดู) การกำหนดตำแหน่งของเรือในทะเลหมายถึงการวางตำแหน่งบนแผนที่ซึ่งปัจจุบันเรือตั้งอยู่ ... ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟเอ Brockhaus และ I.A. เอฟรอน

COGEN- (โคเฮน) แฮร์มันน์ (1842 1918) ปราชญ์ชาวเยอรมัน ผู้ก่อตั้งและตัวแทนที่โดดเด่นที่สุดของโรงเรียน Marburg แห่ง neo-Kantianism ผลงานสำคัญ: 'ทฤษฎีประสบการณ์ของคานท์' (พ.ศ. 2428), 'เหตุผลของกานต์ด้านจริยธรรม' (พ.ศ. 2420), 'เหตุผลด้านสุนทรียศาสตร์ของคานท์' (พ.ศ. 2432), 'ตรรกะ… ...

กันต์ อิมมานูเอล- เส้นทางชีวิตและงานเขียนของ Kant Immanuel Kant เกิดที่ Königsberg (ปัจจุบันคือ Kaliningrad) ในปรัสเซียตะวันออกในปี 1724 พ่อของเขาเป็นนักขี่ม้าและแม่ของเขาเป็นแม่บ้าน ลูกหกคนของพวกเขาไม่ได้อยู่จนโต กันต์นึกถึงพ่อแม่ด้วย ... ... ปรัชญาตะวันตกตั้งแต่กำเนิดจนถึงปัจจุบัน

ปรัชญาสำคัญของคานท์: หลักคำสอนของความสามารถ- (La philosophie critique de Kant: Doctrines des facultes, 1963) โดย Deleuze อธิบายวิธีการเหนือธรรมชาติในบทนำ Deleuze ตั้งข้อสังเกตว่า Kant เข้าใจปรัชญาในฐานะศาสตร์แห่งความสัมพันธ์ของความรู้ทั้งหมดกับเป้าหมายที่จำเป็น... ... ประวัติศาสตร์ปรัชญา: สารานุกรม

หลักการฟาร์ม- หลักการพื้นฐานของทัศนศาสตร์เรขาคณิต (ดู ทัศนศาสตร์ทางเรขาคณิต) รูปแบบที่ง่ายที่สุดของ F. p. คือการยืนยันว่ารังสีของแสงมักจะแพร่กระจายในช่องว่างระหว่างจุดสองจุดตามเส้นทางซึ่งเวลาผ่านไปน้อยกว่า ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

อัลกอริธึมของ Dijkstra เป็นอัลกอริธึมกราฟที่คิดค้นโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Edsger Dijkstra ในปี 1959 ค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอดจุดหนึ่งของกราฟไปยังจุดอื่นๆ ทั้งหมด อัลกอริทึมทำงาน สำหรับกราฟที่ไม่มีขอบของน้ำหนักติดลบเท่านั้น

พิจารณาการดำเนินการของอัลกอริทึมในตัวอย่างกราฟที่แสดงในรูป

ให้ต้องหาระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอดที่ 1 ถึงจุดอื่นๆ ทั้งหมด

วงกลมระบุจุดยอด เส้นระบุเส้นทางระหว่างพวกเขา (ขอบของกราฟ) ตัวเลขของจุดยอดระบุไว้ในวงกลม "ราคา" - ความยาวของเส้นทาง - ระบุไว้เหนือขอบ ถัดจากจุดยอดแต่ละจุด จะมีป้ายกำกับสีแดง - ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดไปยังจุดยอดนี้จากจุดยอด 1

ขั้นแรก. พิจารณาขั้นตอนในอัลกอริทึมของ Dijkstra สำหรับตัวอย่างของเรา จุดยอด 1 มีป้ายกำกับขั้นต่ำ จุดยอด 2, 3 และ 6 คือจุดใกล้เคียง

เพื่อนบ้านคนแรกของจุดยอด 1 ในทางกลับกันคือจุดยอด 2 เนื่องจากความยาวของเส้นทางไปนั้นน้อยที่สุด ความยาวของเส้นทางไปผ่านจุดยอด 1 เท่ากับผลรวมของค่าฉลากของจุดยอด 1 และความยาวของขอบที่ไปจากที่ 1 ถึง 2 นั่นคือ 0 + 7 = 7 ซึ่งน้อยกว่า เลเบลปัจจุบันของจุดยอด 2, อินฟินิตี้ ดังนั้นเลเบลใหม่ของจุดยอดที่ 2 คือ 7

เราทำการดำเนินการที่คล้ายกันกับเพื่อนบ้านอีกสองคนของจุดสุดยอดที่ 1 - ที่ 3 และที่ 6

ตรวจสอบเพื่อนบ้านทั้งหมดของโหนด 1 ระยะทางต่ำสุดในปัจจุบันไปยังจุดสูงสุด 1 ถือเป็นที่สิ้นสุดและไม่ต้องแก้ไข (ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นกรณีนี้ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดย E. Dijkstra) ขีดฆ่าออกจากกราฟเพื่อทำเครื่องหมายว่ามีการเยี่ยมชมจุดยอดนี้แล้ว

ขั้นตอนที่สอง. ขั้นตอนอัลกอริทึมซ้ำแล้วซ้ำอีก เราพบจุดยอดที่ "ใกล้ที่สุด" ของจุดยอดที่ไม่มีใครเข้าชมอีกครั้ง นี่คือจุดยอด 2 ที่มีป้ายกำกับ 7

อีกครั้งเราพยายามลดป้ายกำกับเพื่อนบ้านของจุดสุดยอดที่เลือกโดยพยายามผ่านจุดสุดยอดที่ 2 เพื่อนบ้านของ Vertex 2 คือจุดยอด 1, 3 และ 4

เพื่อนบ้านคนแรก (ตามลำดับ) ของจุดยอด 2 คือจุดยอด 1 แต่มีคนเข้าชมแล้ว ดังนั้นเราจึงไม่ทำอะไรกับจุดยอดที่ 1

เพื่อนบ้านถัดไปของจุดยอด 2 คือจุดยอด 3 เนื่องจากมีป้ายกำกับขั้นต่ำของจุดยอดที่ทำเครื่องหมายว่าไม่ได้เยี่ยมชม หากคุณผ่าน 2 ความยาวของเส้นทางดังกล่าวจะเท่ากับ 17 (7 + 10 = 17) แต่ป้ายกำกับปัจจุบันของจุดยอดที่สามคือ 9 ซึ่งน้อยกว่า 17 ดังนั้นป้ายกำกับจึงไม่เปลี่ยนแปลง

เพื่อนบ้านของจุดยอด 2 อีกตัวคือจุดยอด 4 หากคุณผ่านจุดยอดที่ 2 ความยาวของเส้นทางดังกล่าวจะเท่ากับผลรวมของระยะทางที่สั้นที่สุดไปยังจุดยอดที่ 2 และระยะห่างระหว่างจุดยอด 2 และ 4 นั่นคือ , 22 (7 + 15 = 22) . ตั้งแต่ 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

มีการดูเพื่อนบ้านของจุดยอด 2 ทั้งหมดแล้วเราหยุดระยะห่างและทำเครื่องหมายว่าเยี่ยมชมแล้ว

ขั้นตอนที่สาม. เราทำซ้ำขั้นตอนของอัลกอริทึมโดยเลือกจุดยอด 3 หลังจาก "ประมวลผล" เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

ขั้นตอนถัดไป. เราทำซ้ำขั้นตอนของอัลกอริทึมสำหรับจุดยอดที่เหลือ ซึ่งจะเป็นจุดยอด 6, 4 และ 5 ตามลำดับ

เสร็จสิ้นการดำเนินการอัลกอริทึม. อัลกอริทึมจะสิ้นสุดลงเมื่อไม่สามารถประมวลผลจุดยอดได้อีก ในตัวอย่างนี้ จุดยอดทั้งหมดจะถูกขีดฆ่า แต่ถือเป็นความผิดพลาดที่จะถือว่านี่เป็นกรณีตัวอย่างใดๆ - จุดยอดบางจุดอาจไม่ถูกขีดฆ่าหากไม่สามารถเข้าถึงได้ กล่าวคือ ถ้ากราฟถูกตัดการเชื่อมต่อ ผลลัพธ์ของอัลกอริทึมสามารถมองเห็นได้ในรูปสุดท้าย: เส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอด 1 ถึง 2 คือ 7 ถึง 3 คือ 9 ถึง 4 คือ 20 ถึง 5 คือ 20 ถึง 6 คือ 11

การใช้อัลกอริทึมในภาษาการเขียนโปรแกรมต่างๆ:

C++