Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Ξέρετε γιατί είναι πιο μακριά σε ευθεία παρά σε τόξο; Προσδιορισμός της απόστασης μεταξύ δύο τεμνόμενων γραμμών

Έχοντας σκιαγραφήσει δύο σημεία στον μαυροπίνακα με κιμωλία, ο δάσκαλος προσφέρει στον μικρό μαθητή μια εργασία: να χαράξει τη συντομότερη διαδρομή μεταξύ των δύο σημείων.

Ο μαθητής, αφού σκεφτεί, τραβάει επιμελώς μια τυλιγμένη γραμμή ανάμεσά τους.

- Αυτός είναι ο συντομότερος δρόμος! ο δάσκαλος ξαφνιάζεται. - Ποιος σου το έμαθε αυτό;

- Ο πατέρας μου. Είναι οδηγός ταξί.

Το σχέδιο ενός αφελούς μαθητή είναι, φυσικά, ανέκδοτο, αλλά δεν θα χαμογελούσατε αν σας έλεγαν ότι το διακεκομμένο τόξο στο σύκο. 1 είναι ο συντομότερος δρόμος από το Ακρωτήρι της Καλής Ελπίδας μέχρι το νότιο άκρο της Αυστραλίας!

Ακόμη πιο εντυπωσιακή είναι η ακόλουθη δήλωση: απεικονίζεται στο Σχ. Το 2 ταξίδι μετ' επιστροφής από την Ιαπωνία στο κανάλι του Παναμά είναι μικρότερο από την ευθεία που χαράσσεται μεταξύ τους στον ίδιο χάρτη!

Ρύζι. 1. Σε έναν ναυτικό χάρτη, η συντομότερη διαδρομή από το Ακρωτήριο της Καλής Ελπίδας προς το νότιο άκρο της Αυστραλίας δεν υποδεικνύεται από μια ευθεία γραμμή («λοξοδρόμιο»), αλλά με μια καμπύλη («ορθοδρομία»)

Όλα αυτά μοιάζουν με αστείο, αλλά εν τω μεταξύ μπροστά σας υπάρχουν αδιαμφισβήτητες αλήθειες, γνωστές στους χαρτογράφους.

Ρύζι. 2. Φαίνεται απίστευτο ότι το καμπύλο μονοπάτι που συνδέει τη Γιοκοχάμα στον θαλάσσιο χάρτη με το κανάλι του Παναμά είναι μικρότερο από μια ευθεία γραμμή που χαράσσεται μεταξύ των ίδιων σημείων

Για να διευκρινιστεί το θέμα, θα πρέπει να ειπωθούν λίγα λόγια για τους χάρτες γενικά και για τους ναυτικούς χάρτες ειδικότερα. Η απεικόνιση τμημάτων της επιφάνειας της γης σε χαρτί δεν είναι εύκολη υπόθεση, ακόμη και κατ' αρχήν, επειδή η Γη είναι μια σφαίρα και είναι γνωστό ότι κανένα μέρος της σφαιρικής επιφάνειας δεν μπορεί να αναπτυχθεί σε ένα επίπεδο χωρίς πτυχώσεις και σπασίματα. Άθελά του, πρέπει να τα βάλει κανείς με τις αναπόφευκτες στρεβλώσεις στους χάρτες. Έχουν εφευρεθεί πολλοί τρόποι σχεδίασης χαρτών, αλλά όλοι οι χάρτες δεν είναι απαλλαγμένοι από ελλείψεις: κάποιοι έχουν παραμορφώσεις ενός είδους, άλλοι άλλου είδους, αλλά δεν υπάρχουν καθόλου χάρτες χωρίς παραμορφώσεις.

Οι ναυτικοί χρησιμοποιούν χάρτες που σχεδιάστηκαν σύμφωνα με τη μέθοδο ενός παλιού Ολλανδού χαρτογράφου και μαθηματικού του 16ου αιώνα. Mercator. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται προβολή Mercator. Είναι εύκολο να αναγνωρίσετε έναν θαλάσσιο χάρτη από το ορθογώνιο πλέγμα του: οι μεσημβρινοί εμφανίζονται σε αυτόν ως μια σειρά από παράλληλες ευθείες γραμμές. κύκλοι γεωγραφικού πλάτους - επίσης σε ευθείες γραμμές κάθετες στην πρώτη (βλ. Εικ. 5).

Φανταστείτε τώρα ότι θέλετε να βρείτε το συντομότερο μονοπάτι από το ένα ωκεάνιο λιμάνι στο άλλο στον ίδιο παράλληλο. Στον ωκεανό, όλα τα μονοπάτια είναι διαθέσιμα και είναι πάντα δυνατό να ταξιδέψετε εκεί κατά μήκος του συντομότερου μονοπατιού, αν γνωρίζετε πώς βρίσκεται. Στην περίπτωσή μας, είναι φυσικό να πιστεύουμε ότι το συντομότερο μονοπάτι ακολουθεί τον παράλληλο στον οποίο βρίσκονται και τα δύο λιμάνια: τελικά, στον χάρτη είναι μια ευθεία γραμμή, και τι μπορεί να είναι πιο σύντομο από μια ευθεία διαδρομή! Αλλά κάνουμε λάθος: η διαδρομή κατά μήκος του παραλλήλου δεν είναι καθόλου η συντομότερη.

Πράγματι: στην επιφάνεια μιας σφαίρας, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι το τόξο του μεγάλου κύκλου που τα συνδέει. Αλλά ο κύκλος του παράλληλου μικρό ένας κύκλος. Το τόξο ενός μεγάλου κύκλου είναι λιγότερο κυρτό από το τόξο οποιουδήποτε μικρού κύκλου που διασχίζεται από τα ίδια δύο σημεία: μια μεγαλύτερη ακτίνα αντιστοιχεί σε μια μικρότερη καμπυλότητα. Τραβήξτε το νήμα στη σφαίρα ανάμεσα στα δύο σημεία μας (βλ. Εικ. 3). θα φροντίσετε να μην βρίσκεται καθόλου στον παράλληλο. Ένα τεντωμένο νήμα είναι ένας αναμφισβήτητος δείκτης της συντομότερης διαδρομής και αν δεν συμπίπτει με παράλληλο σε μια υδρόγειο, τότε σε έναν θαλάσσιο χάρτη η συντομότερη διαδρομή δεν υποδεικνύεται από μια ευθεία γραμμή: θυμηθείτε ότι οι κύκλοι των παραλλήλων απεικονίζονται σε τέτοια ένας χάρτης με ευθείες γραμμές, οποιαδήποτε γραμμή που δεν συμπίπτει με μια ευθεία γραμμή, υπάρχει καμπύλη .

Ρύζι. 3. Ένας απλός τρόπος για να βρείτε το συντομότερο μονοπάτι μεταξύ δύο σημείων: πρέπει να τραβήξετε μια κλωστή στην υδρόγειο ανάμεσα σε αυτά τα σημεία

Μετά από όσα ειπώθηκαν, γίνεται σαφές γιατί το συντομότερο μονοπάτι στον θαλάσσιο χάρτη δεν απεικονίζεται ως ευθεία, αλλά ως καμπύλη γραμμή.

Λένε ότι όταν επιλέγετε μια κατεύθυνση για τη Nikolaevskaya (τώρα Oktyabrskaya) ΣΙΔΗΡΟΔΡΟΜΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗυπήρξαν ατελείωτες διαφωνίες σχετικά με τον τρόπο που θα το στρώσει. Οι διαφωνίες τερματίστηκαν με την παρέμβαση του Τσάρου Νικολάου Α', ο οποίος έλυσε το πρόβλημα κυριολεκτικά «ευθύς»: συνέδεσε την Αγία Πετρούπολη με τη Μόσχα κατά μήκος της γραμμής. Εάν αυτό είχε γίνει σε έναν χάρτη Mercator, θα ήταν μια ενοχλητική έκπληξη: αντί για μια ευθεία γραμμή, ο δρόμος θα είχε αποδειχθεί μια καμπύλη.

Όποιος δεν αποφεύγει τους υπολογισμούς μπορεί να πειστεί με έναν απλό υπολογισμό ότι η διαδρομή που μας φαίνεται καμπυλωμένη στον χάρτη είναι στην πραγματικότητα μικρότερη από αυτή που είμαστε έτοιμοι να θεωρήσουμε ευθεία. Αφήστε τα δύο λιμάνια μας να βρίσκονται στην 60η παράλληλο και να χωριστούν με απόσταση 60°. (Το αν υπάρχουν όντως τέτοια δύο λιμάνια είναι, φυσικά, αδιάφορο για υπολογισμό.)

Ρύζι. 4. Για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ των σημείων Α και Β της μπάλας κατά μήκος του τόξου του παραλλήλου και κατά μήκος του τόξου του μεγάλου κύκλου

Στο σχ. 4 βαθμοί Ο -κέντρο του πλανήτη, AB -το τόξο του κύκλου του γεωγραφικού πλάτους στο οποίο βρίσκονται τα λιμάνια Α και Β; σετης 60°. Το κέντρο του κύκλου του γεωγραφικού πλάτους βρίσκεται σε ένα σημείο ΑΠΟΦανταστείτε το από το κέντρο Οτου πλανήτη σύρεται μέσα από τα ίδια λιμάνια ένα μεγάλο κυκλικό τόξο: η ακτίνα του OB = OA = R;θα περάσει κοντά στο τραβηγμένο τόξο AB,αλλά δεν ταιριάζει.

Ας υπολογίσουμε το μήκος κάθε τόξου. Από τα σημεία ΑΛΛΑκαι ΣΤΟβρίσκονται σε γεωγραφικό πλάτος 60° και μετά οι ακτίνες ΟΑκαι OVσυμφιλιώνομαι OS(ο άξονας της υδρογείου) γωνία 30°. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ASOπόδι AC (=r),που βρίσκεται απέναντι από μια γωνία 30° ισούται με το ήμισυ της υποτείνουσας JSC;

που σημαίνει, r=R/2Μήκος τόξου ΑΒείναι το ένα έκτο του μήκους του κύκλου του γεωγραφικού πλάτους, και εφόσον αυτός ο κύκλος έχει το μισό μήκος του μεγάλου κύκλου (που αντιστοιχεί στο μισό της ακτίνας), τότε το μήκος του τόξου του μικρού κύκλου

Για να προσδιορίσουμε τώρα το μήκος του τόξου ενός μεγάλου κύκλου που τραβιέται μεταξύ των ίδιων σημείων (δηλαδή, η συντομότερη διαδρομή μεταξύ τους), πρέπει να γνωρίζουμε το μέγεθος της γωνίας AOW.Χορδή ΟΠΩΣ ΚΑΙ, αφαιρώντας το τόξο σε 60 ° (μικρός κύκλος), είναι η πλευρά ενός κανονικού εξαγώνου που εγγράφεται στον ίδιο μικρό κύκλο. να γιατί AB \u003d r \u003d R / 2

Σχεδιάζοντας μια ευθεία γραμμή od,κέντρο σύνδεσης Οη υδρόγειος με τη μέση ρεσυγχορδίες AB,πάρτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΕΑΒ,που είναι η γωνία ΡΕ-ευθεία:

DA= 1/2 AB και OA=R.

sinAOD=AD: AO=R/4:R=0,25

Από εδώ βρίσκουμε (σύμφωνα με τους πίνακες):

=14°28",5

και ως εκ τούτου

= 28°57".

Τώρα δεν είναι δύσκολο να βρεις το επιθυμητό μήκος του συντομότερου μονοπατιού σε χιλιόμετρα. Ο υπολογισμός μπορεί να απλοποιηθεί αν θυμηθούμε ότι το μήκος ενός λεπτού ενός μεγάλου κύκλου της υδρογείου είναι

Μαθαίνουμε ότι το μονοπάτι κατά μήκος του κύκλου του γεωγραφικού πλάτους, που φαίνεται στον θαλάσσιο χάρτη με μια ευθεία γραμμή, είναι 3333 km, και το μονοπάτι κατά μήκος του μεγάλου κύκλου - κατά μήκος της καμπύλης στον χάρτη - 3213 km, δηλαδή 120 km μικρότερο.

Οπλισμένοι με ένα νήμα και μια σφαίρα στο χέρι, μπορείτε εύκολα να ελέγξετε την ορθότητα των σχεδίων μας και να βεβαιωθείτε ότι τα τόξα των μεγάλων κύκλων βρίσκονται πραγματικά όπως φαίνεται στα σχέδια. Εμφανίζεται στο σχ. 1 σαν η «ευθεία» θαλάσσια διαδρομή από την Αφρική προς την Αυστραλία να είναι 6020 μίλια και η «καμπύλη» - 5450 μίλια, δηλαδή μικρότερη κατά 570 μίλια, ή 1050 χιλιόμετρα. Η «άμεση» αεροπορική διαδρομή στον θαλάσσιο χάρτη από το Λονδίνο προς τη Σαγκάη διασχίζει την Κασπία Θάλασσα, ενώ η πραγματικά συντομότερη διαδρομή βρίσκεται βόρεια της Αγίας Πετρούπολης. Είναι σαφές τι ρόλο παίζουν αυτά τα ζητήματα στην εξοικονόμηση χρόνου και καυσίμων.

Εάν στην εποχή της ιστιοπλοΐας ο χρόνος ναυτιλίας δεν εκτιμούνταν πάντα - τότε ο "χρόνος" δεν θεωρούνταν ακόμη "χρήματα", τότε με την εμφάνιση των ατμοπλοίων, πρέπει να πληρώσετε για κάθε επιπλέον τόνο άνθρακα που καταναλώνεται. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο στις μέρες μας τα πλοία πλοηγούνται κατά μήκος του πραγματικά συντομότερου μονοπατιού, χρησιμοποιώντας συχνά χάρτες που δεν έγιναν στο Mercator, αλλά στη λεγόμενη "κεντρική" προβολή: σε αυτούς τους χάρτες, τα τόξα μεγάλων κύκλων απεικονίζονται ως ευθείες γραμμές.

Γιατί, λοιπόν, πρώην πλοηγοί χρησιμοποιούσαν τόσο παραπλανητικούς χάρτες και επέλεξαν δυσμενή μονοπάτια; Είναι λάθος να πιστεύουμε ότι τα παλιά χρόνια δεν γνώριζαν για το πλέον υποδεικνυόμενο χαρακτηριστικό των θαλάσσιων χαρτών. Το θέμα εξηγείται, φυσικά, όχι από αυτό, αλλά από το γεγονός ότι οι χάρτες που σχεδιάζονται με τη μέθοδο Mercator, μαζί με τις ταλαιπωρίες, έχουν πολύ πολύτιμα οφέλη για τους ναυτικούς. Ένας τέτοιος χάρτης, πρώτον, απεικονίζει ξεχωριστά μικρά μέρη της επιφάνειας της γης χωρίς παραμόρφωση, διατηρώντας τις γωνίες του περιγράμματος. Αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι με την απόσταση από τον ισημερινό, όλα τα περιγράμματα τεντώνονται αισθητά. Σε μεγάλα γεωγραφικά πλάτη, η έκταση είναι τόσο σημαντική που ένας θαλάσσιος χάρτης εμπνέει ένα άτομο που δεν είναι εξοικειωμένο με τα χαρακτηριστικά του με μια εντελώς λανθασμένη ιδέα για το πραγματικό μέγεθος των ηπείρων: η Γροιλανδία φαίνεται να έχει το ίδιο μέγεθος με την Αφρική, την Αλάσκα είναι μεγαλύτερη από την Αυστραλία, αν και η Γροιλανδία είναι 15 φορές μικρότερη από την Αφρική, και η Αλάσκα μαζί με τη Γροιλανδία το μισό μέγεθος της Αυστραλίας. Αλλά ένας ναυτικός που γνωρίζει καλά αυτά τα χαρακτηριστικά του χάρτη δεν μπορεί να εξαπατηθεί από αυτά. Τα ανέχεται, ειδικά επειδή, σε μικρές περιοχές, ένας θαλάσσιος χάρτης δίνει μια ακριβή ομοιότητα της φύσης (Εικ. 5).

Από την άλλη, ο θαλάσσιος χάρτης διευκολύνει πολύ την επίλυση των καθηκόντων της ναυτικής πρακτικής. Αυτό - ενιαίο γένοςχάρτες στους οποίους η διαδρομή ενός πλοίου σε σταθερή πορεία απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή. Το να ακολουθείς μια «σταθερή πορεία» σημαίνει να διατηρείς αμετάβλητα μια κατεύθυνση, ένα συγκεκριμένο «ρολόι», με άλλα λόγια, να πηγαίνεις με τέτοιο τρόπο ώστε να διασχίζεις όλους τους μεσημβρινούς σε ίση γωνία. Αλλά αυτό το μονοπάτι («λοξοδρόμιο») μπορεί να απεικονιστεί ως ευθεία γραμμή μόνο σε έναν χάρτη στον οποίο όλοι οι μεσημβρινοί είναι ευθείες γραμμές παράλληλες μεταξύ τους. Και δεδομένου ότι στην υδρόγειο οι κύκλοι του γεωγραφικού πλάτους τέμνονται με τους μεσημβρινούς σε ορθή γωνία, τότε σε έναν τέτοιο χάρτη οι κύκλοι του γεωγραφικού πλάτους πρέπει να είναι ευθείες γραμμές κάθετες στις γραμμές των μεσημβρινών. Εν ολίγοις, φτάνουμε ακριβώς στο πλέγμα συντεταγμένων που αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα του θαλάσσιου χάρτη.

Ρύζι. 5. Ναυτικός ή Mercator χάρτης της υδρογείου. Σε τέτοιους χάρτες, οι διαστάσεις των περιγραμμάτων μακριά από τον ισημερινό είναι πολύ υπερβολικές. Ποιο, για παράδειγμα, είναι μεγαλύτερο: Γροιλανδία ή Αυστραλία; (απάντηση σε κείμενο)

Η προτίμηση των ναυτικών για τους χάρτες Mercator είναι πλέον κατανοητή. Θέλοντας να καθορίσει την πορεία που πρέπει να ακολουθήσει όταν πηγαίνει στο καθορισμένο λιμάνι, ο πλοηγός εφαρμόζει έναν χάρακα στα τελικά σημεία της διαδρομής και μετρά τη γωνία που κάνει με τους μεσημβρινούς. Παραμένοντας στην ανοιχτή θάλασσα όλη την ώρα προς αυτή την κατεύθυνση, ο πλοηγός θα φέρει με ακρίβεια το πλοίο στον στόχο. Βλέπετε ότι το «λοξοδρόμιο» είναι, αν και όχι ο πιο σύντομος και όχι ο πιο οικονομικός, αλλά από μια άποψη ένας πολύ βολικός τρόπος για έναν ναύτη. Για να φτάσει κανείς, για παράδειγμα, από το Ακρωτήρι της Καλής Ελπίδας στο νότιο άκρο της Αυστραλίας (βλ. Εικ. 1), πρέπει να διατηρείται πάντα η ίδια πορεία S 87 °, 50 ". Εν τω μεταξύ, για να φέρει το πλοίο στο ίδιο τελικό σημείο με τον συντομότερο τρόπο (κατά μήκος του" "), είναι απαραίτητο, όπως φαίνεται από το σχήμα, να αλλάζετε συνεχώς την πορεία του σκάφους: ξεκινήστε από την πορεία S 42 °, 50 "και τελειώστε με την πορεία N 53 °. 50" (σε αυτήν την περίπτωση, το συντομότερο μονοπάτι δεν είναι καν εφικτό - στηρίζεται στον τοίχο πάγου της Ανταρκτικής).

Και τα δύο μονοπάτια - κατά μήκος του "λοξοδρόμιου" και κατά μήκος της "ορθοδρομίας" - συμπίπτουν μόνο όταν η διαδρομή κατά μήκος του μεγάλου κύκλου απεικονίζεται στον θαλάσσιο χάρτη ως ευθεία γραμμή: όταν κινείται κατά μήκος του ισημερινού ή κατά μήκος του μεσημβρινού. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, αυτές οι διαδρομές είναι διαφορετικές.

Η διαδρομή κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής στην εικόνα είναι μικρότερη από τη διαδρομή κατά μήκος της συμπαγούς γραμμής. Και τώρα λίγο πιο αναλυτικά στο παράδειγμα των θαλάσσιων διαδρομών:

Εάν πλέετε σε μια σταθερή πορεία, τότε η τροχιά του πλοίου στην επιφάνεια της γης θα είναι μια καμπύλη, που ονομάζεται στα μαθηματικά λογαριθμικήσπειροειδής.

Στην πλοήγηση, αυτή η σύνθετη γραμμή διπλής καμπυλότητας ονομάζεται λοξοδρομία, που στα ελληνικά σημαίνει «λοξό τρέξιμο».

Ωστόσο, η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων της υδρογείου μετριέται κατά μήκος του τόξου ενός μεγάλου κύκλου.

Το τόξο ενός μεγάλου κύκλου λαμβάνεται ως ίχνος από την τομή της επιφάνειας της γης με ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της γης, λαμβανόμενο ως μπάλα.

Στην πλοήγηση, το μεγάλο τόξο κύκλου ονομάζεται μεγάλος κύκλος, που σημαίνει «ίσιο τρέξιμο». Το δεύτερο χαρακτηριστικό του μεγάλου κύκλου είναι ότι διασχίζει τους μεσημβρινούς κάτω διαφορετικές γωνίες(Εικ. 29).

Η διαφορά στις αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων στην επιφάνεια της γης κατά μήκος του λοξοδρόμου και του ορθόδρομου είναι πρακτικής σημασίας μόνο για μεγάλες διαβάσεις ωκεανών.

Υπό κανονικές συνθήκες, αυτή η διαφορά παραμελείται και η πλοήγηση διεξάγεται σε σταθερή πορεία, δηλ. με λοξοδρόμιο.

Για να εξαγάγουμε την εξίσωση, παίρνουμε λοξοδρομίες (Εικ. 30, ένα) δύο τελείες ΑΛΛΑκαι ΣΤΟ,η απόσταση μεταξύ τους είναι απλά μικρή. Σχεδιάζοντας μεσημβρινούς και μια παράλληλη μέσα από αυτούς, παίρνουμε ένα στοιχειώδες ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Σε αυτό το τρίγωνο, η γωνία που σχηματίζεται από την τομή του μεσημβρινού και της παραλλήλου είναι ορθή και η γωνία ΠnΑΒίσο με την πορεία του πλοίου Κ. Κατέτ ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝαντιπροσωπεύει ένα τμήμα τόξου μεσημβρινού και μπορεί να εκφραστεί

όπου R - ακτίνα της Γης ως σφαίρα.

Δφ - στοιχειώδης αύξηση γεωγραφικού πλάτους (διαφορά γεωγραφικών πλάτων).

πόδι ΝΔαντιπροσωπεύει ένα τμήμα τόξου παράλληλο

όπου r - ακτίνα του παραλλήλου.

Δλ - στοιχειώδη διαφορά γεωγραφικών μήκων.

Από τρίγωνο OO 1 C μπορεί να βρεθεί ότι

Στη συνέχεια στην τελική μορφή το πόδι ΝΔμπορεί να εκφραστεί ως εξής:

Υποθέτοντας ένα στοιχειώδες σφαιρικό τρίγωνο αλφάβητογια επίπεδη, γράψτε

Μετά τη μείωση R και αντικαθιστώντας στοιχειώδεις μικρές προσαυξήσεις των συντεταγμένων με απειροελάχιστες, έχουμε

Ενσωματώνουμε την έκφραση που προκύπτει στο εύρος από φ 1, λ 1 έως φ 2, λ 2 θεωρώντας την τιμή του tgK ως σταθερή τιμή:

Στη δεξιά πλευρά έχουμε ένα ολοκλήρωμα πίνακα. Αφού αντικαταστήσουμε την τιμή του, λαμβάνουμε την εξίσωση λοξόδρομου στην μπάλα

Η ανάλυση αυτής της εξίσωσης μας επιτρέπει να βγάλουμε τα ακόλουθα συμπεράσματα:

Σε διαδρομές 0 και 180 °, το λοξοδρόμιο μετατρέπεται σε τόξο μεγάλου κύκλου - μεσημβρινό.

Σε διαδρομές 90 και 270 °, το λοξοδρόμιο συμπίπτει με το παράλληλο.

Το λοξοδρόμιο διασχίζει κάθε παράλληλο μόνο μία φορά και κάθε μεσημβρινό αμέτρητες φορές. εκείνοι. πλησιάζοντας σπειροειδώς τον στύλο, δεν τον φτάνει.

Η πλοήγηση σε σταθερή πορεία, δηλαδή κατά μήκος του λοξοδρόμου, αν και δεν είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων στη Γη, αντιπροσωπεύει σημαντική ευκολία για τον πλοηγό.

Οι απαιτήσεις για έναν χάρτη θαλάσσιας πλοήγησης μπορούν να διαμορφωθούν με βάση το πλεονέκτημα της πλοήγησης κατά μήκος του λοξοδρόμου και τα αποτελέσματα της ανάλυσης της εξίσωσής του ως εξής.

1. Το Loxodrome, που διασχίζει τους μεσημβρινούς υπό σταθερή γωνία, θα πρέπει να απεικονίζεται ως ευθεία γραμμή.

2. Η χαρτογραφική προβολή που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των χαρτών πρέπει να είναι σύμμορφη έτσι ώστε οι πορείες, τα έδρανα και οι γωνίες σε αυτήν να αντιστοιχούν στην αξία τους στο έδαφος.

3. Οι μεσημβρινοί και οι παράλληλοι, όπως οι γραμμές πορείας 0, 90, 180° και 270°, πρέπει να είναι αμοιβαία κάθετες ευθείες γραμμές.

Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο δεδομένων σημείων στην επιφάνεια της Γης, λαμβανόμενη ως σφαίρα, είναι η μικρότερη από τα τόξα ενός μεγάλου κύκλου που διέρχεται από αυτά τα σημεία. Εκτός από την περίπτωση ενός πλοίου που ακολουθεί έναν μεσημβρινό ή τον ισημερινό, ο μεγάλος κύκλος διασχίζει τους μεσημβρινούς σε διαφορετικές γωνίες. Επομένως, ένα πλοίο που ακολουθεί μια τέτοια καμπύλη πρέπει να αλλάζει την πορεία του συνεχώς. Πρακτικά είναι πιο βολικό να ακολουθήσετε μια πορεία που κάνει σταθερή γωνία με τους μεσημβρινούς και απεικονίζεται στον χάρτη στην προβολή Mercator από μια ευθεία γραμμή - λοξοδρόμιο. Ωστόσο, σε μεγάλες αποστάσεις, η διαφορά στο μήκος του ορθόδρομου και του λοξοδρόμου φτάνει σε σημαντική τιμή. Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, υπολογίζεται ο ορθόδρομος και σημειώνονται σε αυτό ενδιάμεσα σημεία, μεταξύ των οποίων κολυμπούν κατά μήκος του λοξοδρόμου.

Μια χαρτογραφική προβολή που πληροί τις παραπάνω απαιτήσεις προτάθηκε από τον Ολλανδό χαρτογράφο Gerard Cramer (Mercator) το 1569. Προς τιμή του δημιουργού της, η προβολή ονομάστηκε Mercator.

Και ποιος θέλει να πάρει ακόμα περισσότερα ενδιαφέρουσες πληροφορίεςΜάθε περισσότερα Το αρχικό άρθρο βρίσκεται στον ιστότοπο InfoGlaz.rfΣύνδεσμος προς το άρθρο από το οποίο δημιουργήθηκε αυτό το αντίγραφο -

ΑΠΟΣΤΑΣΗ, αποστάσεις, βλ. 1. Ένας χώρος που χωρίζει δύο σημεία, ένα κενό ανάμεσα σε κάτι. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ευθεία γραμμή. Ζει από εμάς σε απόσταση δύο χιλιομέτρων. «Ο διοικητής τους άφησε να μπουν στην πιο κοντινή απόσταση… Επεξηγηματικό Λεξικό Ushakov

απόσταση- ουσιαστικό, σ., χρήση. συχνά Μορφολογία: (όχι) τι; απόσταση για τι; απόσταση, (δείτε) τι; απόσταση από; απόσταση, τι; Σχετικά με την απόσταση? pl. τι; απόσταση, (όχι) τι; αποστάσεις, γιατί; αποστάσεις, (δείτε) τι; απόσταση από; αποστάσεις... Λεξικό του Ντμίτριεφ

απόσταση- ΕΓΩ; βλ. Ο χώρος που χωρίζει δύο σημεία, δύο αντικείμενα, κ.λπ., το χάσμα μεταξύ κάποιου, από λ. Το συντομότερο ποτάμι μεταξύ δύο σημείων. R. από το σπίτι στο σχολείο. Υποχώρηση σε ένα κοντινό ποτάμι. Σε απόσταση ενός μέτρου, τα χέρια απλωμένα. Μάθετε κάτι, αισθανθείτε κάτι. στο… … εγκυκλοπαιδικό λεξικό

απόσταση- ΕΓΩ; βλ. δείτε επίσης απόσταση α) Ο χώρος που χωρίζει δύο σημεία, δύο αντικείμενα κ.λπ., το χάσμα μεταξύ κάποιου, από το l. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Απόσταση από το σπίτι στο σχολείο. Υποχώρηση σε κοντινή απόσταση / nie ... Λεξικό πολλών εκφράσεων

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες διαφόρων σχημάτων (σημεία, γραμμές, γωνίες, δισδιάστατα και τρισδιάστατα αντικείμενα), το μέγεθος και τη σχετική τους θέση. Για τη διευκόλυνση της διδασκαλίας, η γεωμετρία χωρίζεται σε επιπεδομετρία και συμπαγή γεωμετρία. ΣΤΟ…… Εγκυκλοπαίδεια Collier

Πλοήγηση*

Πλοήγηση- τμήμα ναυσιπλοΐας (βλ.), ολοκληρώνοντας μια παρουσίαση τρόπων προσδιορισμού της θέσης ενός πλοίου στη θάλασσα, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα κούτσουρο (βλ.). Για να προσδιορίσετε τη θέση του πλοίου στη θάλασσα σημαίνει να βάλετε στον χάρτη το σημείο στο οποίο βρίσκεται αυτή τη στιγμή το πλοίο. ... ... Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό F.A. Brockhaus και I.A. Έφρον

COGEN- (Cohen) Hermann (1842 1918) Γερμανός φιλόσοφος, ιδρυτής και πιο εξέχων εκπρόσωπος της νεοκαντιανικής σχολής του Marburg. Κυριότερα έργα: «Η Θεωρία της Εμπειρίας του Καντ» (1885), «Η Δικαιολόγηση της Ηθικής του Καντ» (1877), «Η Δικαιολόγηση της Αισθητικής του Καντ» (1889), «Λογική… ...

Kant Immanuel - μονοπάτι ζωήςκαι τα γραπτά του Kant Ο Immanuel Kant γεννήθηκε στο Konigsberg (τώρα Καλίνινγκραντ) στην Ανατολική Πρωσία το 1724. Ο πατέρας του ήταν σαγματοποιός και η μητέρα του νοικοκυρά, έξι από τα παιδιά τους δεν έζησαν μέχρι την ενηλικίωση. Ο Καντ θυμόταν πάντα τους γονείς του με ... ... Η δυτική φιλοσοφία από τις απαρχές της έως τις μέρες μας

Η ΚΡΙΤΙΚΗ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΟΥ ΚΑΝΤ: ΤΟ ΔΟΓΜΑ ΤΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ- (La philosophie critique de Kant: Doctrines des facultes, 1963) του Deleuze. Περιγράφοντας την υπερβατική μέθοδο στην εισαγωγή, ο Ντελέζ σημειώνει ότι ο Καντ κατανοεί τη φιλοσοφία ως την επιστήμη της σχέσης όλης της γνώσης με τους ουσιαστικούς στόχους... ... Ιστορία της Φιλοσοφίας: Εγκυκλοπαίδεια

αρχή της φάρμας- τη βασική αρχή της γεωμετρικής οπτικής (Βλ. Γεωμετρική οπτική). Η απλούστερη μορφή του F. p. είναι η δήλωση ότι μια ακτίνα φωτός διαδίδεται πάντα στο διάστημα μεταξύ δύο σημείων κατά μήκος της διαδρομής κατά μήκος των οποίων ο χρόνος διέλευσης της είναι μικρότερος από ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Ο αλγόριθμος του Dijkstra είναι ένας αλγόριθμος γραφήματος που εφευρέθηκε από τον Ολλανδό επιστήμονα Edsger Dijkstra το 1959. Βρίσκει τις συντομότερες διαδρομές από μια από τις κορυφές του γραφήματος σε όλες τις άλλες. Ο αλγόριθμος λειτουργεί μόνο για γραφήματα χωρίς ακμές αρνητικού βάρους.

Εξετάστε την εκτέλεση του αλγορίθμου στο παράδειγμα του γραφήματος που φαίνεται στο σχήμα.

Ας απαιτείται να βρεθούν οι μικρότερες αποστάσεις από την 1η κορυφή σε όλες τις άλλες.

Οι κύκλοι υποδεικνύουν τις κορυφές, οι γραμμές υποδεικνύουν τις διαδρομές μεταξύ τους (τα άκρα του γραφήματος). Οι αριθμοί των κορυφών υποδεικνύονται στους κύκλους, η "τιμή" τους - το μήκος της διαδρομής - υποδεικνύεται πάνω από τις άκρες. Δίπλα σε κάθε κορυφή, σημειώνεται μια κόκκινη ετικέτα - το μήκος της συντομότερης διαδρομής προς αυτήν την κορυφή από την κορυφή 1.

Το πρώτο βήμα. Εξετάστε ένα βήμα στον αλγόριθμο του Dijkstra για το παράδειγμά μας. Η κορυφή 1 έχει την ελάχιστη ετικέτα. Οι κορυφές 2, 3 και 6 είναι οι γειτονικές της.

Ο πρώτος γείτονας της κορυφής 1 με τη σειρά του είναι η κορυφή 2, επειδή το μήκος της διαδρομής προς αυτήν είναι ελάχιστο. Το μήκος της διαδρομής προς αυτήν μέσω της κορυφής 1 είναι ίσο με το άθροισμα της τιμής της ετικέτας της κορυφής 1 και του μήκους της άκρης που πηγαίνει από την 1η στη 2η, δηλαδή 0 + 7 = 7. Αυτό είναι μικρότερο από το τρέχουσα ετικέτα κορυφής 2, άπειρο, άρα η νέα ετικέτα της 2ης κορυφής είναι 7.

Κάνουμε μια παρόμοια λειτουργία με δύο άλλους γείτονες της 1ης κορυφής - την 3η και την 6η.

Όλοι οι γείτονες του κόμβου 1 ελέγχονται. Η τρέχουσα ελάχιστη απόσταση μέχρι την κορυφή 1 θεωρείται οριστική και δεν υπόκειται σε αναθεώρηση (το γεγονός ότι αυτό όντως ισχύει το απέδειξε για πρώτη φορά ο E. Dijkstra). Διασχίστε το έξω από το γράφημα για να επισημάνετε ότι αυτή η κορυφή έχει επισκεφθεί.

Δεύτερο βήμα. Το βήμα του αλγορίθμου επαναλαμβάνεται. Και πάλι βρίσκουμε την «πλησιέστερη» από τις μη επισκέψιμες κορυφές. Αυτή είναι η κορυφή 2 με την ένδειξη 7.

Και πάλι προσπαθούμε να μειώσουμε τις ετικέτες των γειτόνων της επιλεγμένης κορυφής, προσπαθώντας να τις περάσουμε από τη 2η κορυφή. Οι γείτονες της κορυφής 2 είναι οι κορυφές 1, 3 και 4.

Ο πρώτος (κατά σειρά) γείτονας της κορυφής 2 είναι η κορυφή 1. Αλλά έχει ήδη επισκεφθεί, οπότε δεν κάνουμε τίποτα με την 1η κορυφή.

Ο επόμενος γείτονας της κορυφής 2 είναι η κορυφή 3, καθώς έχει την ελάχιστη ετικέτα των κορυφών που επισημαίνονται ως μη επισκέψιμα. Εάν πάτε σε αυτό μέσω του 2, τότε το μήκος μιας τέτοιας διαδρομής θα είναι ίσο με 17 (7 + 10 = 17). Αλλά η τρέχουσα ετικέτα της τρίτης κορυφής είναι 9, που είναι μικρότερη από 17, επομένως η ετικέτα δεν αλλάζει.

Ένας άλλος γείτονας της κορυφής 2 είναι η κορυφή 4. Αν πάτε σε αυτήν μέσω της 2ης, τότε το μήκος μιας τέτοιας διαδρομής θα είναι ίσο με το άθροισμα της μικρότερης απόστασης από τη 2η κορυφή και την απόσταση μεταξύ των κορυφών 2 και 4, δηλαδή , 22 (7 + 15 = 22) . Από 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.

Όλοι οι γείτονες της κορυφής 2 έχουν προβληθεί, παγώνουμε την απόσταση από αυτήν και την επισημαίνουμε ως επίσκεψη.

Τρίτο βήμα. Επαναλαμβάνουμε το βήμα του αλγορίθμου επιλέγοντας την κορυφή 3. Μετά την «επεξεργασία» του, έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Επόμενα βήματα. Επαναλαμβάνουμε το βήμα του αλγορίθμου για τις υπόλοιπες κορυφές. Αυτές θα είναι οι κορυφές 6, 4 και 5, αντίστοιχα.

Ολοκλήρωση της εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ο αλγόριθμος τερματίζεται όταν δεν είναι δυνατή η επεξεργασία άλλων κορυφών. Σε αυτό το παράδειγμα, όλες οι κορυφές διαγράφονται, αλλά είναι λάθος να υποθέσουμε ότι αυτό θα συμβεί σε οποιοδήποτε παράδειγμα - ορισμένες κορυφές μπορεί να παραμείνουν μη διαγραμμένες εάν δεν είναι δυνατή η προσέγγισή τους, δηλαδή εάν το γράφημα αποσυνδεθεί. Το αποτέλεσμα του αλγορίθμου είναι ορατό στο τελευταίο σχήμα: η συντομότερη διαδρομή από την κορυφή 1 έως 2 είναι 7, προς 3 είναι 9, προς 4 είναι 20, προς 5 είναι 20, έως 6 είναι 11.

Εφαρμογή του αλγορίθμου σε διάφορες γλώσσες προγραμματισμού:

C++